In einer solchen, für beide Seiten emotional anstrengenden Situation hilft es meist, zu de-eskalieren.
Der Vermieter möchte Euch vermutlich nichts böses, sondern will nur seine Wohnung ohne größere Schwierigkeiten und Kosten vermieten können. Auch nach Euch will er sie wieder vermieten. Das geht besser mit einer kompletten Küche. Daher möchte er verständlicherweise ein kaputtes Gerät durch ein passendes, gleichwertiges ersetzt bekommen, das funktioniert.
Auch Ihr wollt vermutlich nicht viel Zeit und Nerven mit einem Gerichtsverfahren verbringen, in dem, selbst wenn Ihr Recht bekommt, die einzigen Gewinner üblicherweise die Anwälte sind.
Daher ist der Vorschlag, einen ähnlichen und passenden gebrauchten Kühlschrank zu besorgen, der einzig wahre. Das kostet vielleicht €50 - für den Frieden gut angelegtes Geld!
Genauso mit der Spülmaschine oder dem Herd: Der Ärger, nicht kochen zu können oder alles immer mit der Hand spülen zu müssen, wäre mir schon die (ähnlich geringen) Kosten für ein gebrauchtes, aber funktionierendes Gerät wert - ich hätte es daher schon lange einfach ausgetauscht.
Aber wer sich streiten will, der wird sich streiten.