Müsste er Zweitwohnsitzsteuer zahlen, obwohl er in der Wohnung nicht lebt?
Nein, das muss er nur, wenn er die Wohnung tatsächlich auch bezieht. Das dürfte hier nicht der Fall sein.
Werden die Betriebskosten auf zwei Personen hochgerechnet?
Das muss mit dem Vermieter geklärt werden. Ggfs. gibt es Betriebskostenarten, die nach Anzahl der Mieter berechnet werden. Das müsste hier korrigiert werden. In der Regel ist die Grundlage für die Betriebskosten aber die Wohnfläche.
Und falls es solche finanziellen Fallen gibt, kann man im Vertrag vielleicht kennzeichnen, dass ich der einzige Bewohner bin, damit keine Probleme entstehen?
Der Vermieter nimmt deinen Vater ja mit in den Vertrag, um finanziell abgesichert zu sein, wenn Du mal nicht zahlen kannst. Ob Du alleiniger Bewohner bist, ist irrelevant.
Beachte auch, dass eine spätere Kündigung nur wirksam ist, wenn dein Vater diese ebenso unterschreibt.